如何设置锁相放大器的低通滤波器

低通滤波器是锁相放大器的重要组成之一，决定了测量的性能。如何设置低通滤波器？低通滤波器的带宽（或者说时间常数）和阶数应该如何选择？在刚开始使用锁相放大器的时候，很多用户都有这样的疑问。对于简单的应用，带宽设置为解调频率的1/10到1/100，阶数设置为3或4，这就可以了。但是，为具体的应用找到最优的设置，可能要花很多时间。为了帮助用户快速地找到最优的设置，我们总结了几条经验跟大家分享。

首先，我们回顾为什么低通滤波器如此重要。因为它决定了测量的带宽和噪声，决定了测量的优劣。低通滤波器有两个参数，即截止频率和阶数。它们的关系是

\[f_{co}=\frac{FO}{2\pi\text{TC}}\]

\(f_{co}\)是低通滤波器的截止频率；\(FO\)是滤波器阶数前因子；\(TC\)是时间常数。

截止频率是低通滤波器的带宽，与时间常数成反比。带宽越小，信噪比越好，但是测量时间变长，也就是阶跃响应时间变长，如图1所示。低通滤波器的阶数是相同的滤波器的级联的个数。阶数越大，低通滤波器的滚降越陡，也就是说对不感兴趣的信号抑制就越强。但是，阶数越大，低通滤波器需要更多的时间到达稳态，如图2所示。

为了帮助大家理解如何正确选择这两个参数，我们以两种常见的应用情形为例。 第一种，关键制约因素是测量时间。比如，扫描成像。为了缩短每一帧的时间，每一个像素的测量时间是有限的。假设我们已经选定低通滤波器的带宽，我们要考虑阶数的选择对低通滤波的阶跃响应的影响。在图2中，可以看到低通滤波器的阶数对其阶跃响应的特性的影响。阶数低的滤波器开始时上升很快（比如n=1），但是与高阶（比如n=8）的低通滤波器相比，达到稳态需要的时间更长。比如，为了达到71%的准确度（注意，不是精度），和最大的信噪比，一阶滤波器是首选, 因为它比高阶的滤波器更先达到这个准确度。如果要达到95%的准确度，首选二阶；99%则三阶。在测量带宽已经选定后，我们可以按照测量准确度的要求，选择合适的阶数。

第二种，待测信号的频谱非常复杂。在这种情况下，在频域选择滤波器的参数更加方便。低通滤波器的带宽要足够宽，以覆盖所有的频率分量；同时，带宽要足够小，以避免额外的噪声。比如，我们想观测一个幅度调制信号，调制频率是10Hz， 那么滤波器的带宽最小要10Hz，如图4所示。如果临近的频率上有噪声信号，它们将对测量构成干扰。因为噪声的频率和信号的频率很接近，我们要选择滚降特性更好的低通滤波器，也就是它的阶数应该高一些， 这样对噪声的抑制会更好。

上面提到的建议可以帮助我们应对大多数应用。但是，在某些情境下，有些地方我们要特别注意。首先，如果低通滤波器的阶数很大，那么信号的传输延时会变大。在涉及到闭环反馈的应用中，比如追踪相位的锁相环PLL，传输延时过大可能导致反馈不稳定。 在这种情况下，更低阶的滤波是更好的选择。

第二种，信号的频率很低，因为解调的频率很低。即便低通滤波器用较小的带宽，也可能有直流和谐波信号的泄露，如图6所示。如果设置不当，这些干扰就不能充分抑制。为了避免这个问题，我们应该使用更高阶的滤波器。另外，我们也可以用sinc滤波器来抑制谐波。

本文根据视频内容改编 Low-pass filter settings done right 。如果想了解更多锁相放大器的基本知识，请参考Zurich Instruments发布的锁相技术白皮书。

感谢Claudius Riek博士制作的图片。