跳转到主要内容
Search

锁相检测技术的原理

Principles of Lock-in Detection

简介

锁相放大器技术于 20 世纪 30 年代问世 [123] 并于20 世纪中期进入商业化应用阶段[4],这种电子仪器能够在极强噪声环境中提取信号幅值和相位信息 (参见 Figure 1)。锁相放大器采用零差检测方法和低通滤波技术,测量相对于周期性参考信号的信号幅值 和相位。锁相测量方法可提取以参考频率为中心的指定频带内的信号,有效滤除所有其他频率分量。如今, 市面上最好的锁相放大器具有高达 120 dB 的动态储 备 [5],意味着这些放大器可以在噪声幅值超过期望 信号幅值百万倍的情况下实现精准测量。

几十年来,随着科技的不断发展,研究人员已经针对锁相放大器研发出诸多不同的应用方法。如今的锁相 放大器主要用作精密交流电压仪和交流相位计、噪声测量单元、阻抗谱仪、网络分析仪、频谱分析仪以及锁相环中的鉴相器。相关研究领域几乎覆盖了所有波长 范围和温度条件,例如全日光条件下的日冕观测 [6]、分数量子霍尔效应的测量 [7]或者分子中原子间键合 特性的直接成像 [8]。锁相放大器的功能极其丰富多 样。与频谱分析仪和示波器一样,锁相放大器不可或 缺,已经成各种实验室装备中的核心工具,比如物理、 工程和生命科学等。与大多数强大的工具一样,要想 充分发挥锁相放大器的作用并成功设计各种实验,用 户必须充分了解其工作原理及特性。

本文将简要介绍锁相放大技术的工作原理并解释说明 最为重要的测量指标。我们将从时域和频域角度介绍 锁相检测技术。此外,还将详细说明如何利用信号调 制在保持较短采集时间的同时提高信噪比 (SNR)。最 后,我们还将讨论锁相检测技术近期的创新成果及发 展现状。

fig01 buried signal

Figure 1: 锁相放大器可测量待测信号相对于特定参考信号的幅值和 相位(甚至是完全淹没在噪声之中的信号)。

锁相放大器的工作原理

锁相放大器利用信号的时间相关性将信号从嘈杂背景 中提取出来。锁相放大器首先将输入信号与参考信号 相乘(有时也称下混频或外差/零差检测),然后通过一个可调低通滤波器进行滤波。这种方法称为解调检 测或相敏检测,用于将期望频率的信号从所有其他频 率分量中分离出来。参考信号可由锁相放大器自身生 成,也可由外部信号源提供给锁相放大器和实验设备。

参考信号通常为正弦波,但也可以采用其他信号。采 用纯正弦波解调时,可以有选择地对基础频率或其任 意谐波进行测量。有些仪器采用方波 [9]进行解调, 但方波会捕捉信号的所有奇次谐波,从而可能引入系 统性测量误差。

为了帮助理解锁相检测技术,下文将分别介绍时域和 频域中的混频及滤波过程。

双相解调

fig02 dual phase

Figure 2: (a) 典型锁相测量过程的示意图。正弦信号一方面用来驱动 DUT,另一方面也作为参考信号使用。锁相放大器将对 DUT 的响应 进行分析,并输出相对于参考信号的信号幅值和相位。(b) 锁相放大原 理图:输入信号将分别与参考信号及其 90◦ 相移信号相乘。混频器输 出经过低通滤波后,将滤除噪声和 2ω 分量,并最终转化为极坐标。

在典型实验中,通常利用正弦波激励待测设备 (DUT), 如 Figure 2所示。锁相放大器将利用设备响应信 号 Vs(t) 和参考信号 Vr(t) 来确定幅值 R 和相位 ϴ。这 一过程通过 Figure 2 (b)中所示的双相解调电路实现。 输入信号将被分出两路,并分别与参考信号及其 90◦ 相移信号相乘。混频器的输出信号经可调低通滤波器 滤波,得到 X 和 Y 两个输出,分别称为同相分量和正 交分量。通过下列公式将 X 和 Y 笛卡尔坐标转换为 极坐标,即可轻松得到幅值 R 和相位 ϴ。

\[\begin{align*}
 &R=\sqrt{X^2+Y^2},\\
 &\Theta = atan2(Y,X)
\end{align*}\]
(1)

请注意,为了使相位角输出范围覆盖全部四个象限, 即 (−π, π],我们用 atan2 替代 atan。

Figure 2 (b)所示,为了以两个不同相位解调输入 信号,锁相放大器需要将输入信号进行拆分。相比于 模拟仪器,利用数字技术拆分信号可以避免任何 SNR 损失和通道间失配问题。

时域中的信号混频

复数为解调过程的计算提供了一个简洁的数学形式。 我们利用基本三角函数公式

\[cos(x)=\frac{1}{2}e^{+ix}+\frac{1}{2}e^{-ix}\]
(2)

将输入信号 Vs(t) 改写为复平面上两个矢量之和,两 个矢量长度为 R/ √ 2,以相同角速度 ωs 分别沿顺时 针方向和逆时针方向旋转:

\[\begin{align*}
 V_S(t)&=\sqrt{2}R\cdot cos(\omega_St+\Theta) \\
 &= \frac{R}{\sqrt{2}}e^{+i(\omega_st+\Theta)}+\frac{R}{\sqrt{2}}e^{-i(\omega_st+\Theta)}.
\end{align*}\]
(3)

通过 Figure 3 (a) 和 (b) 的图示可以看出,两个矢量 在 x 轴的投影之和(实部)正是 Vs(t),而矢量在 y 轴 的投影之和(虚部)始终为零。

双相下混频过程在数学上可以表示为输入信号与复数 参考信号相乘

\[V_r(t)=\sqrt{2}e^{-i\omega_rt}=\sqrt{2}cos(\omega_rt)-i\sqrt{2}sin(\omega_rt).\]
(4)
 
fig03 rotating observer

Figure 3: 在复平面中表示的解调过程。(a) 输入信号 Vs(t) 可表示为 两个反向旋转的矢量之和。(b) 矢量在实轴 x 轴上的投影彼此叠加,而 在虚轴 y 轴上的投影则相互抵消。(c) 在旋转坐标系中,逆时针方向 矢量保持静止,顺时针方向矢量以观察者两倍的角速度旋转。请注意, 依照惯例,如果逆时针方向矢量在参考信号之前,则 ϴ 为正值。

混频后的复数信号可以利用下面的公式算出,

\[\begin{align*}
Z(t) &= X(t)+iY(t)=V_S(t)\cdot V_r(t)\\
 &= R\left [ e^{i\left [ (\omega_s-\omega_r)t+\Theta \right ]} +e^{-i\left [ (\omega_s+\omega_r)t+\Theta \right ]}\right ],
\end{align*}\]
(5)

以信号频率与参考频率的和频及差频信号分量表示。 在Figure 3 (c), 复数混频相当于观察者位于原点 并以 ωr 频率沿逆时针方向旋转。

从 观 察 者 角 度 看, 两 个 箭 头 分 别 以 ωs − ωr 和 ωs + ωr 的不同角速度旋转,如果信号频率接近于 参考频率,角速度为 ωs + ωr 的箭头会旋转得快得 多。

随后的滤波过程在数学上可表示为在一段时间内对运 动矢量求平均,使用尖角括号 ⟨· · · ⟩ 指示。在滤波过 程,设置 ⟨exp [−i(ωs + ωr)t + iϴ]⟩ = 0,从而滤除 角速度为 |ωs + ωr | 的快速旋转项。解调后的平均信 号为

\[Z(t)=R\cdot e^{i[(\omega_s-\omega_r)t+\Theta]}.\]

(6)

如果信号同频 ωs = ωr,则该公式可进一步简化为

\[Z(t)=R\cdot e^{i\Theta}.\]
(7)

Equation 7 代表解调后的信号和锁相放大器主要输 出:绝对值 |Z| = R 为信号的均方根幅值,参数 arg(Z) = ϴ 为输入信号相对于参考信号的相位。

fig04 sinusoids mixing

Figure 4: (a) 峰值为 0.5 V 的输入信号 Vs (红色)与同频参考信号 Vr(蓝色)相乘。(b) 产生的信号将带有 Vs 和 Vr 频率的频率分量。直 流偏移量为 0.17 V,是输入信号的同相分量 X。(c) 输入信号 Vs 与非 同频参考信号 Vr 相乘。(d) 产生的信号将带有一个直流偏移量和两倍 于 fs − fr 和 fs + fr 频率的频率分量。平均信号始终为零。

解 调 信 号 Z(t) 的 实 部 和 虚 部 分 别 为 同 相 分 量 X 和 正 交 分 量 Y。 这 两 个 分 量 可 通 过 欧 拉 公 式 exp(iωst) ≡ cos(ωst) + i sin(ωst) 计算得出:

\[\begin{align*}
 X&= Re(Z)=\left \langle V_s(t)cos(\omega_st) \right \rangle=R \; cos \; \Theta,\\
 Y&= Im(Z)=-\left \langle V_s(t)sin(\omega_st) \right \rangle=R \; sin \; \Theta.
\end{align*}\]
(8)

图中所示,ωs = ωr 意味着逆时针旋转的箭头看起来 静止不动。而另一个箭头则以两倍角频率 −2ωs 顺时 针旋转,这通常称为 2ω 分量。低通滤波器通常会将 2ω 分量完全滤掉。

Figure 4为示波器显示的混频和滤波前后的不同信 号。 Figure 4 所示为一段时间的正弦信号示例 Vs 和 Vr,两信号频率相同,分别为 ωs 和 ωr。Figure 4 (b) 中的蓝线为混频后信号,主要为 2ω 分量。滤波后(绿 线),仅保留直流分量,其值等于 Vs 的同相幅值 X。 如Figure 4 (c),) 所示,如果信号频率与参考频率不同, 则混频后的信号不再是简单的正弦波,并且滤波后的 平均值始终为零,如Figure 4 (d)所示。这是一个典 型的同步检测示例,检测中仅提取出与参考频率具有 相干关系的信号,滤除了所有其他信号。 

频域内的信号混频

我们将利用傅里叶变换 [10]] 来实现时域与频域之间 的转换。傅里叶变换是线性变换,可将时域中频率为 f0 的正弦函数转换为频域中的狄拉克函数 δ(f-f0),即 在频谱中频率 f0 点出现单个峰值。由于任何周期信 号均可表示为正弦信号与余弦信号的叠加[11],因此 对于少量频谱分量组成的信号,其变换通常都可以直 观地理解。

Figure 5 (a) 所示为时域中的有噪正弦信号,经过傅里 叶变换后,在频域中如  Figure 5 (b)所示。正弦信号在 频谱中 +fs 和 −fs 频率处出现峰值。零频率处的较小 峰值是由输入信号的直流偏移所导致的。 Figure 5 (c) 中的蓝线表示混频后的时域信号。 Figure 5 (d) 所示 的关联频谱与图 (b) 中基本一致,但向低频方向平移 了相当于 fr 参考频率的距离。

fig05 noisy fft

Figure 5: 解调前后信号时域图与频域图之间的关系。(a) 一段时间内 叠加了噪声的正弦输入信号。(b) (a) 图信号的频域图。(c) 与参考信 号混频(蓝线)并经过低通滤波(红线)后,fBW 内的信号频谱保留。 (d) 在频域中,混频过程将频率分量平移 −fr。随后,滤波器以零点为 中心提取宽度为 fBW 的狭窄频带。请注意 −fs 频率分量,它来自输入 信号中的偏移和 1/f 噪声。要获得准确的测量值,必须通过适当的滤 波来抑制此分量。

图 (d) 中的红色虚线代表低通滤波过程,将滤出特定 滤波带宽 fBW 内的频率。(c) 中的红线代表输出信号, 是 (d) 中所示频谱直流分量与滤波器带宽内噪声 (| f| < fBW) 的叠加。从图中可以明显看出,滤波器带宽 必须远小于信号频率 fs,才能有效抑制输入信号中的 直流偏移量。在下面几节中,我们将进一步讨论如何 在特定实验条件下选择合适的滤波特性。

频域中的低通滤波

研究低通滤波时,我们优先考虑使用频域,因为大多 数滤波器的输入信号 Qin(ω) 与滤过信号 Qout(ω) 之 间存在如下的简单关系
\[Q_{out}(\omega)=H(\omega)Q_{in}(\omega).\]
(9)

H(ω) 称为滤波器传递函数。Qin(ω) 与 Qout(ω) 分别 是时域中输入信号 Qin(t) 和输出信号 Qout(t) 的傅里叶变换。

fig06 cascaded filters

Figure 6: (a) 一阶 RC 滤波器及其传递函数公式。(b) 通过将多个 RC 滤波器级联可以针对更高频率获得更陡的滚降特性。最终的传递函数 为各滤波器传递函数相乘。

为了完全滤除频谱中不需要的部分,我们可能会想要 找到一种理想的滤波器,来完整传递 fBW(即通带)内 的所有频率,并彻底滤除任何其他频率(即阻带)。然 而遗憾的是,这样理想化的“矩形滤波器”根本不可能 实现,因为这种滤波器的脉冲响应在时域内从 −∞ 延 伸到 +∞,会使得滤波器具有非因果性。我们用 RC 滤波器模型作为基本近似,请参见 Figure 6。这种类 型的滤波器在模拟域和数字域均容易实现。模拟 RC 滤波器的传递函数可以用以下公式近似表示

\[H(\omega)=\frac{1}{1+i\omega\tau},\]
(10)

其中,τ = RC 称为滤波时间常数,R 为电阻,C 为电 容。 Figure 7 (a) 和 (b) 中的蓝线是此传递函数的波 特图,表示 20log|H(2πf)| 和 arg[H(2πf)] 与 log(f) 之间的函数关系。

fig07 filters tau

Figure 7: 中的蓝线为 RC 滤波器传递函数 H(ω) 的波特图。 同时,还绘制了具有相同滤波时间常数 τ 的高阶滤波器 (n = 2, 4, 8) 的传递函数,从图中可以看出,高阶滤波器的信号带宽 f−3dB 相对要 低得多。(c) 时域中对应的阶跃响应函数。通过级联多个滤波器,可以 显著增加达到同一精度的稳定时间。这与相位延迟的增大(从 (b) 中 可以看出)有关。级联 RC 或积分滤波器的另一个优点是,不会出现 巴特沃斯滤波器等类型滤波器中存在的时域内超调问题。

fig08 filters cutoff

Figure 8: Figure 7 相同的一组图表,但 Figure 8 中所有滤波器的 截止点 f−3dB 相同,而时间常数不同,分别为 τ = 0.16、0.10、0.069、 0.048。(a) 高阶滤波器针对更高频率的滚降更陡。(b) 高阶滤波器的 相位延迟更大,会对反馈应用造成不良影响。(c) 时域内的阶跃响应函 数,以一阶滤波器时间常数 τ 1 为单位。尽管低阶滤波器在初始时对 输入信号变化的响应更为迅速,但这个优势会随时间的推移而逐渐减 小,在某一时间点,高阶滤波器甚至会超越低阶滤波器,如插图所示。

阶数 时间 滚降系数   带宽,单位:1/τ   稳定时间,单位:τ
n 常数 τ dB/oct dB/dec   f-3dB fNEP fNEP/f-3dB   63.2% 90% 99% 99.9%
1 1 6 20   0.159 0.250 1.57   1.00 2.30 4.61 6.91
2 1 12 40   0.102 0.125 1.23   2.15 3.89 6.64 9.23
3 1 18 60   0.081 0.094 1.16   3.26 5.32 8.41 11.23
4 1 24 80   0.069 0.078 1.13   4.35 6.68 10.05 13.06
5 1 30 100   0.061 0.069 1.12   5.43 7.99 11.60 14.79
6 1 36 120   0.056 0.062 1.11   6.51 9.27 13.11 16.45
7 1 42 140   0.051 0.057 1.11   7.58 10.53 14.57 18.06
8 1 48 160   0.048 0.053 1.10   8.64 11.77 16.00 19.62
Table 1: 具有相同时间常数的 n 阶 RC 滤波器的滤波特性概况。在动态应用中,通常需要考量 f−3dB 和稳定时间,而在噪声测量中,保证 fNEP 正 确则是获得准确结果的关键。通过上述关系,针对带宽相同而阶数不同的滤波器,可以轻松算出滤波时间常数。

根据 Figure 7 (a) 中的蓝线可以推断,频率超过 f−3dB 时,频率每增加十倍,衰减将增加十倍。这相当于 6 dB/倍频程(20 dB/十倍频程),表示频率每增加 一倍时产生 2 倍的幅值减小。截止频率 f−3dB 是指信 号强度衰减 −3 dB 或减为一半时的频率。幅值(与 信号强度的平方根成正比)在 f−3dB 处衰减 1/√2 = 0.707。

对于 Equation 10 所描述的滤波器,其截止频率为 f−3dB = 1/(2πτ )。从 Figure 7 (b) 可以看出,低通滤波 器也会引入频率相关相位延迟,其值等于 arg[H(ω)]。

相比理想的矩形滤波器,一阶滤波器的滚降效果很差。 为了改善滚降特性,通常会将多个滤波器级联。每增 加一个滤波器,滤波器的阶数会增加 1 阶。前一级滤波器的输出将作为下一级滤波器的输入,因此我们可 以将滤波器的传递函数简单相乘。利用 subsection 9 我们可以得到如下 n 阶滤波器传递函数:

\[H_n(\omega)=H_1(\omega)^n=(\frac{1}{1+i\omega\tau})^n.\]
(11)

其 衰 减 是 一 阶 滤 波 器 的 n 倍, 总 滚 降 系 数 为 n × 20 dB/十倍频程。 Figure 7 (a) and (b)所示为 1 阶、2 阶、4 阶和 8 阶 RC 滤波器的频率响应。滤波 器的阶数越高,其幅值传递函数就越接近于理想矩形 滤波器。与此同时,相位延迟也会随阶数而增加。对 于以相位作为系统反馈信号的应用(例如锁相环)而 言,增加相位延迟会影响控制环的稳定性和带宽。

Figure 8 (a) and (b) 所示为不同阶数滤波器的波特图, 这些滤波器带宽同为 f−3dB,但时间常数不同。 Table 1 中提供了相应滤波特性之间的数字关系。

在噪声测量中,通常以噪声等效功率带宽 fNEP(而非 3 dB 带宽 f−3dB)指定滤波器。噪声等效功率带宽是 与实际滤波器传递等量白噪声的理想矩形滤波器的截 止频率。 Table 1 中列出了级联 RC 滤波器的 fNEP 与 f−3dB 之间的转换系数。

将输入信号 Vs(t) 与参考信号 √ 2 exp (−iωrt) 混频 后,输入信号的频谱平移了相当于解调频率 ωr 的距 离,即为 Vs(ω−ωr)。低通滤波技术将此信号乘以滤 波器传递函数 Hn(ω),对频谱进行进一步转换。解调 信号 Z(t) 包含基准频率周围的所有频率分量,并且这 些分量已按照滤波器响应进行加权处理。

\[Z(\omega)=V_s(\omega-\omega_r)H_n(\omega).\]
(12)

该公式清楚地表明,解调行为与带通滤波器相似,都 会提取以 fr 为中心的频谱并在两侧各扩展 f−3dB。此 外,该公式还表明,解调信号经过傅里叶变换后再除 以滤波器传递函数,可以复原解调频率 fr 周围的输 入信号频谱。FFT 频谱分析仪经常采用这种频谱分析, 有时这种频谱分析也称为 zoomFFT [12]。

时域中的低通滤波器

滤波器时域特性可以通过其阶跃响应很好地展现出 来,如 Figure 7 (c) 和 Figure 8 (c)所示。这两幅图展 示的是滤波器输入呈现出从 0 到 1 的阶跃式变化的 情况。滤波器输出需要经过一定时间才能稳定在新值。 为准确测量通过滤波器的信号,实验人员必须等待足 够长的时间,待输出稳定后再进行测量。

Table 1 列出了时间常数 τ 相同、阶数不同的各滤波 器达到最终值的 63.2%、90%、99% 和 99.9% 所需 的时间。假设采用 1 MHz 信号,并使用带宽为 1 kHz 的 4 阶滤波器在 1 MHz 周围进行滤波。通过 Table 1 中列出的数值,可以推出时间常数为 69 μs,达到 1% 误差所需的稳定时间为 0.7 ms。

信号动态特性和解调带宽

设置解调带宽时,往往需要在时间分辨率与 SNR 之 间进行权衡。以载波频率 fc = ωc/2π, 的调幅 (AM) 输入

\[V_s(t)=\left [ 1+h\, cos(\omega_mt) \right ]\,cos(\omega_ct+\varphi_c)\]
(13)

信号(如 Figure 9 所示)为例,探讨如何能够满足不 同实验问题的要求。在 Figure 9中,以蓝线表示信号 幅值 R(t) = 1 + h cos(ωmt),信号以 fm = ωm/2π 的频率围绕平均值 1 进行调制,其中调制指数 h 表 征调制强度。在本例中,载波频率和调制频率分别选 为 fc = 2 kHz 及 fm = 100 Hz。

采 用 Figure 3 中 引 入 的 复 数 表 示 方 法, Figure 10 (a) 展示了混频后的 AM 信号。信号的模 |1 + h cos(ωmt)| 与时间相关,但其角度 φc 恒定。 cos(ωmt) 项是两个反向旋转矢量 exp(iωmt) 与 exp(−iωmt) 之和。这两个矢量表示调幅信号频谱的 上边带和下边带,如 Figure 10 (d)所示。Figure 10 (b) and (c)分别显示了正交分量和同相分量。

fig09 am in time-domain

Figure 9: 调幅信号:绿线表示载波输入信号(为便于说明,以较低频 率显示)。蓝线表示信号幅值,为输入信号包络。

fig10 am sidepeaks

Figure 10: (a) 旋转参考坐标系内的调幅信号是一个长度与时间相关 的矢量。瞬时信号由蓝色粗箭头表示;较窄的箭头表示 AM 信号的两 个边带。(b) 和 (c) 展示了解调输入信号的正交分量和同相分量:蓝线 为未经过滤波的信号,黑色虚线、红线和青色线分别表示以 f−3dB = 500 Hz、100 Hz 和 20 Hz 的滤波器进行滤波后的信号。(d) 以带宽 不同的三种滤波器进行滤波后的解调信号频谱(黑色、红色和青色曲 线)。

在大多数应用中,都需要测量以下量之一:

  • 幅值 R(t) = 1 + h cos(ωmt) 的时间相关性
  • 幅值 ⟨R(t)⟩ 的平均值
  • 调制指数 h

在第一种情况下,希望解调信号以 fm 跟随幅值变 化。这要求滤波器带宽明显大于 fm。例如,可以选择 带宽为 f−3dB = 500 Hz 的 4 阶滤波器。选择此滤波 器后,根据 Equation 11 和 Table 1计算可得,fm = 100 Hz(即与载波频率 fc 相差 100 Hz)时的传输率 约为 98.5%,相位延迟约为 20◦。换言之,滤波器对 调制信号的影响微乎其微。解调信号如 Figure 10 (b) 和 (c) 中的黑色虚线所示。

除考虑边带抑制/通过和相位延迟外,在选择滤波器 时,测量结果中的噪声量也是需要考虑的一项重要标 准。Figure 11 通过解调后具有较强噪声的 AM 信号 说明了这一点,如图 (a) 所示。图 (b) 所示为同一信 号采用截止频率等于调制频率的滤波器进行滤波后的 结果。虽然此滤波器消除了大部分噪声,但引起了幅 值与相位的系统性变化,需要对其进行校正才能获得 准确结果。

对于第二种情况,可以将滤波器带宽减小至小于 fm 的值,滤除与边带对应的频率分量。f−3dB = 20 Hz 的 4 阶滤波器能够将边带抑制 0.03 或 30 dB, 如 Figure 10 (d)中的青色虚线所示。Figure 11 (c) 展示了这样一个强大的滤波器对测量结果的影响。

对于第三种情况,我们希望掌握调制指数 h 但无需 解析完整的信号动态特性。例如,在开尔文探针力显 微镜中使用时,h 用于测定响应以 fm 变化的交流电 压时探针与样本之间的静电力。由于调制指数与边带 幅值成正比,可使用窄带滤波器围绕边带 fc−fm 和 fc+fm 执行测量。可采用两种方法完成此操作:串联 解调或边带直接解调方法。

采用串联解调时,首先围绕中心频率执行宽带解调。 生成的信号通常与 Figure 11 (a)中的信号相似,随后 以 fm 再次解调该信号。使用该方法时,可用的调制 频率不能大于第一个锁相单元的最大解调带宽。采用 边带直接解调时,在单步中即可以 fc ± fm 解调信号, 并且可用的调制频率仅受锁相放大器频率范围的限 制。此外,边带直接解调仅需要单个锁相放大器而非 两个锁相放大器,因此该方法通常为首选方法。

fig11 am filtering

Figure 11: (a) 含噪声的输入信号将生成含噪声的解调信号(蓝线)。 无噪声的基底信号如图中黑色虚线所示。(b) 使用带宽 f−3dB = fm = 100 Hz 的滤波器将滤除大部分噪声,但也会影响被测信号。(c) 与 (b) 类似,但带宽 f−3dB = fm/5 = 20 Hz。

实现高信噪比

fig12 noise overview

Figure 12: 典型实验的噪声频谱定性分析。测量频率应从背景噪声较 小的区域中选择,避免技术性噪声源引入的离散峰值。在本例中,由 于低频时 f2 位于 1/f 噪声上方只有白噪声的区域,采用相同滤波器带 宽时,获得的结果要优于 f1

降低滤波器带宽通常会提高 SNR,但会牺牲时间分 辨率。采取其他哪些措施可以提高 SNR?

如果无法提高信号强度,则应尽可能降低或避免噪声。 然而,噪声在模拟信号中始终存在,并源自不同的噪 声源,有些噪声源为基本噪声源,例如 约翰逊噪声 (热噪声)、散粒噪声和闪烁噪声等,而其他噪声源则 是技术性噪声源,例如接地回路、干扰、串扰、50–60 Hz 噪声或电磁干扰等。随机电压噪声 Vnoise(t) 的大 小由其标准差而定。在频域中,噪声由其功率谱密度 |vn(ω)| 2 表征(单位:V²/Hz),或由 |vn(ω)| 表征(单 位:V/√Hz)。

Figure 12 中的频谱定量分析展示了不同噪声源具有 不同的频率相关性:对于所有实际频率,约翰逊噪声 的频谱比较平坦,因而构成了“白噪声”,而闪烁噪声 具有 1/f 的频率相关性(“粉红噪声”)。如果在选择调 制频率时具有一定的选择空间,则可以放大频谱中噪 声水平最低的部分。通常,频谱中包含白噪声特性的 更高频率效果更佳。 Figure 12 展示了这种方式:在 频率较低的 1/f 噪声区域,滤波器内的噪声(由蓝色 和灰色填充区域表示)更大。因此,由于噪声密度较 低,只要避免无线电和无线传输等其他噪声源,采用 相同滤波器带宽时,f2 对应的 SNR 高于 f1

为了给出一个更为定量化的示例,假定要测量幅值为 1 μV、通过 1 MΩ 电阻且 SNR 大于 10 的正弦信号。 此类电阻 R 具有热噪声,噪声的功率谱密度为 \(\overline{v_{n}^{2}}\) = 4kBTR,在 T = 300 K 的室温下,\(\sqrt{\overline{v_{n}^{2}}}\) = 0.127 √R nV/√Hz =127 nV/√Hz 1。在本例中,热噪声视为主 要噪声源。它明显强于通常低于 10 nV/√Hz 的锁相 放大器输入噪声。因此,可按照下式计算 SNR

\[SNR=\frac{1\mu V}{127nV/\sqrt{Hz}\cdot\sqrt{f_{NEP}}}=10\]
(14)

通过求解关于 fNEP 的此公式可得,要使 SNR 达到 10,需要选择带宽小于或等于 620 mHz 的 NEP 滤 波器。我们选择 4 阶滤波器。利用 Table 1 ,可以计 算出相应的截止频率 f−3dB = 549 mHz,时间常数 τ = 126 ms,达到 1% 误差所需的稳定时间为 1.26 s。

由于噪声幅值与带宽的平方根成正比,要将 SNR 提 高至 10 倍,需要将滤波器带宽缩小 100 倍。达到 1% 误差所需的稳定时间也随之延长至 2 分钟以上。锁相 技术之所以能够支持此类长时间测量,是因为该技术 对输入信号中的直流偏移漂移不敏感。但是,其他原 因(DUT 电阻或放大器增益发生变化等)引起的漂 移,可能会对长时间测量产生影响。因此,保持工作 条件稳定,特别是保持温度恒定至关重要。

发展现状

自 20 世纪 30 年代初问世以来,锁相放大器经历了 长期发展。从作为仪器基本技术的真空管被取代开 始,我们注意到,锁相放大技术逐渐向数字领域转换, 但尚未彻底。在数字锁相放大器中,输入信号通过 模数转换器 (ADC) 立即转换至数字域,然后通过数 字信号处理技术 (DSP) 以数字化方式执行后续步骤, 如 Figure 13 (b)所示。相比之下,模拟锁相放大器则使用压控振荡器、混频器和简单的 RC 滤波器等模拟 元件进行信号处理。此外,还存在混合使用模拟和数 字方式进行信号处理的方案 [9](如 Figure 13 (a)所 示),在这种方案中,将在模拟混频阶段(滤波前或 滤波后)后对信号进行数字化处理。

fig13 dsp demod

Figure 13: (a) 模拟锁相放大器:信号分两条路径处理,在两条路径 中,都是先与参考信号混频,经滤波后再转换为数字信号。(b) 数字锁 相放大器:信号经数字化后与参考信号相乘并进行滤波。

UHFLI front

Figure 14: Zurich Instruments UHFLI 锁相放大器代表了最先进的锁相技术。此锁相放大器信号输入带宽为 600 MHz,解调带宽为 5 MHz,堪称 市场上迄今为止速度最快的锁相放大器。仪器宽 19 英寸,集成了大量功能(请参见 Figure 16),并采用最先进的仪器控制软件 LabOne® (请参 见 Figure 15) 进行控制。

随着速度、分辨率和线性度不断提升的 ADC 和 DAC 推向市场,进一步促进了模拟领域向数字领域的转换。 这一进展有助于将频率范围、输入噪声和动态储备推 向新的极限。此外,对于数字信号处理,出现因信号 通路不匹配而导致的误差、串扰和因温度变化等原因 而导致的漂移等情况的几率将大大降低。这一特性在 频率较高时尤为重要。但数字处理方案的最大优势在 于,能够采用多种方式同时对信号进行分析而不损失 SNR。如前文所述,这不仅有助于提高双相解调性能, 还支持直接分析信号的多个频率分量而无需级联多台 仪器,从而避免了可能带来的所有不利影响。

从模拟领域向数字领域转换后,运算能力强、内存足 和速度高的现场可编程门阵列 (FPGA) 推向市场,它 的出现为推动创新迈出了一大步。通过对 FPGA 灵 活编程即可实时执行几乎所有所需的信号处理任务。 锁相技术的自然延伸是在解调前后增加时域与频域分 析,否则将由单独的示波器和频谱分析仪完成分析。 此外,单台仪器内可以包含用于对低占空比信号进行 分析的 Boxcar 平均器、用于反馈回路的 PID 和 PLL 控制器以及用于实时处理测量数据的运算单元。随后, 可以将测量信号传输至计算机进行进一步分析。如果 需要采用连接另一台仪器的模拟接口,可以使用高分 辨率 DAC 将来自不同功能单元的测量数据轻松转换 回模拟域。

在速度和集成水平方面,现今最先进的仪器当属 Zurich Instruments 于 2012 年推出的 UHFLI [13]。Figure 14 所示为仪器前面板。UHFLI 的信号输入带 宽为 600 MHz,最大解调带宽为 5 MHz,堪称市场 上迄今为止速度最快的锁相放大器。尽管速度快,却 仍具有仅 4 nV/√Hz 的卓越输入噪声性能和 100 dB 的动态储备。 Figure 16 所示为 UHFLI 的主要功能单 元及相互之间的连接,充分展示了 UHFLI 较高的集 成水平。过去需要一整个机架的仪器才能实现的功能 现已集成至不足鞋盒大小的单台仪器内。

显而易见, Figure 16 中展示了大量功能,而使用前 面板上的几个旋钮和按钮无法控制和充分利用这些功 能。UHFLI 要借助在计算机上运行的 LabOne® 进行 完全控制,这是一款采用最新浏览器技术的仪器控制 软件,提供了通过 Web 浏览器访问任意设备的图形 用户界面(请参见 Figure 15)。参数扫描仪、软件触 发器或 PID 参数智能设定等高级工具可以利用主机 的处理能力执行测量任务,从而提升测量结果的可信 度,提高工作流程的效率。此外,LabOne 还提供了 用于 LabVIEW™、MATLAB®、Python 和 C# 的编程 接口,便于将测量仪器集成到现有实验控制环境中。

LabOne UI single screen

Figure 15: UHFLI 锁相放大器的 LabOne® 用户界面采用最新的 Web 浏览器技术。仪器能够通过多台计算机或平板电脑等设备上的多 个浏览器访问,并进行控制。每种信号分析和控制工具都有专用的选 项卡。部分功能以框图形式直观显示。

fig14 uhf overview

Figure 16: Zurich Instruments UHFLI 的主要功能模块及相互之间的信号流框图。快速数字信号处理可以在时钟频率为 450 MHz 的 FPGA 内执 行,也可以在通过 USB 或 1GbE 端口连接且运行仪器控制软件 LabOne® 的计算机中执行。仪器的主要功能元件包括 8 个双相解调器、数字转换 器 (DIG) 和 FFT 功能的示波器 (Scope)、具有 PLL 功能的 PID 模块、运算单元 (AU)、带周期波形分析仪 (PWA) 的 Boxcar 平均器和脉冲计数器 模块 (CNT)。对于信号生成,仪器可提供正弦信号发生器 (OSC) 以及便于形成复杂信号形状的任意波形发生器 (AWG)。此外,在计算机上运行的 LabOne 控制软件还额外提供参数扫描仪、频谱分析仪、数值显示 (Num)、绘图仪、用于时域分析的软件触发器和谐波分析器 (Harm) 等功能。

References

[1] C. R. Cosens. A balance-detector for alternating-current bridges. Proceedings of the Physical Society, 46:818, 1934.
[2] W. C. Michels. A Double Tube Vacuum Tube Voltmeter. Rev. Sci. Instrum., 9:10, 1938.
[3] W. C. Michels and N. L. Curtis. A Pentode LockIn Amplifier of High Frequency Selectivity. Rev. Sci. Instrum., 12:444, 1941.
[4] Interview of Robert Dicke by Martin Hawrit.Niels Bohr Library and Archives, College Park, MD: American Institute of Physics, www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/4572, 1985. Accessed: 2016-10-21.
[5] Zurich Instruments HF2LI. http://www.zhinst.com/products/hf2li. Accessed: 2016-10-21.
[6] A. M. Skellett. The Coronaviser, an Instrument for Observing the Solar Corona in Full Sunlight. Proc Natl Acad Sci USA, 26(6):430, 1940.
[7] D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. C. Gossard. Two-dimensional magnetotransport in the extreme quantum limit. Phys. Rev. Lett., 48:1559, 1982.
[8] L. Gross et al. Bond-Order Discrimination by Atomic Force Microscopy. Science, 337(6100):1326, 2012.
[9] Stanford Research SR844. http://www.thinksrs.com/products/SR844.htm. Accessed: 2016-10-21.
[10] Wikipedia Article: Fourier Transform. https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform. Accessed: 2016-10-21.
[11] Wikipedia Article: Fourier Series. https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series. Accessed: 2016-10-21.
[12] N. Thrane. Zoom-FFT. Brüel & Kjær Technical Review, (2):3, 1980.
[13] Zurich Instruments UHFLI. http://www.zhinst.com/products/uhfli. Accessed: 2016-10-21.
联系我们